O correto é à medida que, indicando a proporção em que ocorre o que se declara na outra oração: À medida que as tropas avançavam, a cidade se esvaziava. Usa-se também a variante na medida em que, com mescla dos sentidos proporcional e causal: É preciso cumprir as leis, na medida em que elas existem. Neste caso, o que se afirma na oração principal (é preciso cumprir as leis) é referido a uma causa (porque elas existem) e a uma proporção (à medida que elas existem). Depende do contexto a determinação do sentido predominante.

Importante: Embora seja próprio de meios intelectuais, especialmente universitários, é inadequado o emprego de na medida em que (ou variantes) em sentido puramente causal, sem qualquer idéia de proporção: Na medida em que não afirmei tal coisa, não me sinto responsável pelas conseqüências. Para a idéia de causa, deve-se usar porque e equivalentes (já que, uma vez que...).