A expressão à custa de significa“ com recursos ou dinheiro de; a expensas de; com o sacrifício de; por meio de”: Vive à custa do irmão; Estudou à custa da mãe; Só obedece à custa de pancadas. Custas, no plural, tem um sentido específico na linguagem jurídica – “despesas feitas em processo judicial”: 
O réu foi condenado a pagar as custas do processo.